3 · Μηχανικές Ταλαντώσεις

Quiz & Sims 4 ExamsΑναστασίου Γιάννης
Συνολικό Τυπολόγιο · Α.Α.Τ. (1.3) · Φθίνουσες (1.5) · Εξαναγκασμένες & Συντονισμός (1.6)

Ασημί περίγραμμα και απαλό γκρι φόντο: πρόσθετοι τύποι / εξαγωγές. Έντονο σύμβολο: διάνυσμα · απλό σύμβολο: μέτρο ή αλγεβρική συνιστώσα.

Δ: διανυσματικό μέγεθος · έντονα γράμματαΜ: μονόμετρο μέγεθοςΟι εξισώσεις στον άξονα χρησιμοποιούν αλγεβρικές τιμές. Τα μέτρα και τα πλάτη είναι μη αρνητικά.Δ πριν από μέγεθος: μεταβολή · οι γωνίες των εξισώσεων σε rad.
τύποςΛευκό πλαίσιο με χρυσό περίγραμμα και ★ = δίνεται στο τυπολόγιο των Πανελλαδικών.
1.2

Περιοδική κίνηση

Περιοδική λέγεται η κίνηση που επαναλαμβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήματα. Περίοδος T είναι ο χρόνος μιας πλήρους επανάληψης.

$\displaystyle T = \frac{t}{N}$$\displaystyle f = \frac{N}{t}$$\displaystyle T = \frac{1}{f}$$\displaystyle \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$
T: περίοδος · s · Μf: συχνότητα · Hz = s⁻¹ · Μω: κυκλική συχνότητα · rad/s · Μt: χρόνος · s · ΜN: αριθμός ταλαντώσεων · χωρίς μονάδα · Μ

Η κυκλική συχνότητα ω είναι μονόμετρο μέγεθος. Η γωνιακή ταχύτητα ω είναι διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο της κυκλικής κίνησης. Στην ομαλή κυκλική κίνηση το μέτρο της ισούται με την κυκλική συχνότητα.

↺   ⊙ ω   Αριστερόστροφη κίνηση — προς τον αναγνώστη

Εφαρμογή 1: Ένα σώμα εκτελεί 20 ταλαντώσεις σε 10 s. Να βρεθούν T, f και ω.
Εφαρμογή 2: Η περίοδος γίνεται T′ = 2T. Να βρεθούν οι λόγοι f′/f και ω′/ω.
1.3

Απλή Αρμονική Ταλάντωση

Κινηματική, Κύκλος Αναφοράς, Δυναμική, Ενέργειες & Ρυθμοί Μεταβολής
⏱️ 1. Εξισώσεις Κίνησης & Αρχική Φάση (φ₀)
Ανατομία Α.Α.Τ. & Πίνακας Κινηματικών Εξισώσεων
x = −A−A/2Θ.Ι. (x = 0)+A/2x = +Aa = +amaxυ = 0a = −amaxυ = 0υ = −υmaxυ = +υmaxa = 0φ₀ = 0t = 0t = Tt = T/4t = T/2t = 3T/41234
Φάσεις (από T/4 η καθεμία): 1 Θ.Ι. → +A · 2 +A → Θ.Ι. · 3 Θ.Ι. → −A · 4 −A → Θ.Ι.
x = −A−A/2Θ.Ι. (x = 0)+A/2x = +Aa = +amaxυ = 0a = −amaxυ = 0υ = −υmaxυ = +υmaxa = 0φ₀ = π/2t = 0t = Tt = T/4t = T/2t = 3T/41234
Φάσεις (από T/4 η καθεμία): 1 +A → Θ.Ι. · 2 Θ.Ι. → −A · 3 −A → Θ.Ι. · 4 Θ.Ι. → +A
Μέγεθος Γενική Εξίσωση ($\phi_0 \neq 0$) Όταν $\phi_0 = 0$
($x_0 = 0, \upsilon_0 > 0$)		 Όταν $\phi_0 = \frac{\pi}{2}$
($x_0 = +A, \upsilon_0 = 0$)
Φάση ($\phi$) $\phi = \omega t + \phi_0$ $\phi = \omega t$ $\phi = \omega t + \frac{\pi}{2}$
Απομάκρυνση ($x$)
Πλάτος ταλάντωσης ($A$)
 $x = A\eta\mu(\omega t + \phi_0)$ $x = A\eta\mu(\omega t)$ $x = A\eta\mu(\omega t + \frac{\pi}{2})$
Ταχύτητα ($\upsilon$)
Πλάτος ταχύτητας ($\upsilon_{\max}=\omega A$)
 $\upsilon = \omega A\sigma\upsilon\nu(\omega t + \phi_0)$ $\upsilon = \upsilon_{\max}\sigma\upsilon\nu(\omega t)$ $\upsilon = \upsilon_{\max}\sigma\upsilon\nu(\omega t + \frac{\pi}{2})$
Επιτάχυνση ($\alpha$)
Πλάτος επιτάχυνσης ($\alpha_{\max}=\omega^2 A$)
 $\alpha = -\omega^2 A\eta\mu(\omega t + \phi_0)$ $= -\omega^2 x$ $\alpha = -\alpha_{\max}\eta\mu(\omega t)$ $\alpha = -\alpha_{\max}\eta\mu(\omega t + \frac{\pi}{2})$
📌 Εύρεση αρχικής φάσης — οι δύο περιπτώσεις που εξετάζουμε
Για την εξίσωση $x = A\eta\mu(\omega t + \phi_0)$, ορίζουμε τη Θ.Ι. ως $x = 0$ και επιλέγουμε κατάλληλα τη θετική φορά:
1. Στη Θ.Ι. τη στιγμή $t = 0$ → $\phi_0 = 0$.
Επιλέγουμε ως θετική τη φορά της αρχικής ταχύτητας. Έτσι $x_0 = 0$, $\upsilon_0 = +\upsilon_{\max}$ και $x = A\eta\mu(\omega t)$.
2. Αφήνεται από ακραία θέση χωρίς αρχική ταχύτητα τη στιγμή $t = 0$ → $\phi_0 = \frac{\pi}{2}$.
Επιλέγουμε ως θετική τη φορά από τη Θ.Ι. προς την αρχική ακραία θέση. Επομένως η θέση από την οποία αφήνεται το σώμα είναι το $+A$: $x_0 = +A$, $\upsilon_0 = 0$ και $x = A\eta\mu(\omega t + \frac{\pi}{2})$.
Παραδείγματα: Αν τραβήξουμε το σώμα αριστερά ή κάτω από τη Θ.Ι. και το αφήσουμε, θεωρούμε θετική τη φορά προς τα αριστερά ή προς τα κάτω, αντίστοιχα. Αν το τραβήξουμε δεξιά ή πάνω, θεωρούμε θετική τη φορά προς τα δεξιά ή προς τα πάνω. Και στις δύο περιπτώσεις η αρχική θέση είναι $+A$ και η αρχική φάση $\phi_0 = \frac{\pi}{2}$.
Προσοχή: Η θετική φορά είναι επιλογή μας, εφόσον δεν έχει ήδη οριστεί στην εκφώνηση. Την κρατάμε ίδια σε όλη τη λύση· το «αριστερά» ή το «κάτω» δεν σημαίνει υποχρεωτικά αρνητική απομάκρυνση.
Εφαρμογή 1: Δίνεται x = 0,2ημ(2πt) (S.I.). Να βρεθούν A, ω, T, f, υmax και αmax.
Εφαρμογή 2: Τραβάμε σώμα κατά d από τη Θ.Ι. και το αφήνουμε στο t = 0. Θετική φορά είναι προς την αρχική θέση. Να βρεθούν A και φ₀ και να γραφτεί η x(t).
Εφαρμογή 3: Δίνεται υ = υmaxσυν(ωt + π/2). Να βρεθεί η υ στο t = 3T/4 ως συνάρτηση της υmax.
🎯 2. Υπολογισμός Χρόνου ($\Delta t$) με τον Κύκλο Αναφοράς
Α. Γεωμετρική Απεικόνιση στον Κύκλο Αναφοράς
+A -A Δφ Θέση 1 (φ₁) Θέση 2 (φ₂) x₁ x₂
$$\Delta\phi = |\phi_2 - \phi_1| = \omega \cdot \Delta t \implies \Delta t = \frac{\Delta\phi}{\omega} = \frac{\Delta\phi}{2\pi} T$$
T: περίοδος · s · Μω: κυκλική συχνότητα · rad/s · Μt: χρόνος · s · Μφ, φ₀: φάση, αρχική φάση · rad · Μ
Εφαρμογή 1: Σώμα ξεκινά από τη Θ.Ι. προς το +A. Σε πόσο χρόνο φτάνει πρώτη φορά στο x = A/2; Να δοθεί ο χρόνος ως συνάρτηση της T.
Εφαρμογή 2: Σώμα αφήνεται από το +A. Σε πόσο χρόνο φτάνει πρώτη φορά στο −A/2; Να δοθεί ο χρόνος ως συνάρτηση της T.
Β. Παράδειγμα: Ασυμμετρία Χρόνου (0 → A/2 vs A/2 → A)
x = 0 x = +A/2 x = +A Δt₁ = T / 12 (Γρήγορα!) Δt₂ = T / 6 = 2Δt₁
  • Από $x=0$ έως $x=+A/2$: $\eta\mu(\omega t_1) = \frac{1}{2} \implies \omega t_1 = \frac{\pi}{6} \implies t_1 = \frac{T}{12}$.
  • Από $x=0$ έως $x=+A$: $\eta\mu(\omega t_2) = 1 \implies \omega t_2 = \frac{\pi}{2} \implies t_2 = \frac{T}{4} = \frac{3T}{12}$.
  • Άρα για το δεύτερο μισό ($A/2 \to A$) απαιτείται διπλάσιος χρόνος: $\Delta t_2 = \frac{3T}{12} - \frac{T}{12} = \mathbf{\frac{2T}{12} = \frac{T}{6}}$!
Εφαρμογή: Σώμα κινείται από τη Θ.Ι. προς το +A. Να συγκριθούν οι χρόνοι για τις διαδρομές 0 → A/2 και A/2 → A.
⚙️ 3. Δυναμική της Α.Α.Τ. & Τα 3 Βήματα Απόδειξης
Συνθήκη Α.Α.Τ. ($\Sigma F = -Dx$) & Μεθοδολογία Κατακόρυφου Ελατηρίου
x = −A−A/2Θ.Ι. (x = 0)+A/2x = +AF = +FmaxF = −FmaxF = 0
1. Φ.Μ. (l₀) m 2. Θ.Ι. (ΣF=0) kΔl₀ = mg m 3. Τ.Θ. (+x) ΣF = -kx Δl₀ x
$\displaystyle \mathbf{F} = -D\mathbf{x}$|$\displaystyle D = m\omega^2 \implies T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}$
T: περίοδος · s · Μω: κυκλική συχνότητα · rad/s · Μx: αλγεβρική απομάκρυνση από Θ.Ι. · mF: δύναμη · N = kg·m/s² · ΔD: σταθερά επαναφοράς · N/m = kg/s² · Μm: μάζα · kg · Μ
  • Βήμα 1 (Θέση Ισορροπίας - Θ.Ι.): Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις και γράφουμε $\Sigma F = 0$ (π.χ. $k\Delta\ell_0 = mg$).
  • Βήμα 2 (Τυχαία Θέση - Τ.Θ.): Εκτρέπουμε το σώμα κατά $+x$ και γράφουμε την αλγεβρική τιμή της $\Sigma F$ (π.χ. $\Sigma F = mg - k(\Delta\ell_0 + x)$).
  • Βήμα 3 (Αναγωγή): Αντικαθιστούμε τη σχέση της Θ.Ι. και καταλήγουμε στη μορφή $\Sigma F = -Dx$!
Εφαρμογή 1: Σε σύστημα μάζας–ελατηρίου τετραπλασιάζουμε τη μάζα, με ίδιο k. Αν η αρχική περίοδος είναι T, ποια είναι η νέα T′;
Εφαρμογή 2: Τετραπλασιάζουμε το k, με ίδια μάζα. Αν η αρχική ιδιοσυχνότητα είναι f₀, ποια είναι η νέα f₀′;
Εφαρμογή 3: Σε Α.Α.Τ. τετραπλασιάζουμε τη μάζα, με ίδιο k και ίδιο πλάτος. Με διαίρεση κατά μέλη να βρεθούν οι λόγοι υ′max/υmax και α′max/αmax.
Εφαρμογή 4: Κατακόρυφο ελατήριο επιμηκύνεται κατά Δℓ₀ όταν ισορροπεί η μάζα m. Αν η μάζα γίνει 2m, να βρεθούν οι λόγοι Δℓ₀′/Δℓ₀ και T′/T.
⚡ 4. Ενέργεια στην Α.Α.Τ. ($E = K + U$)
Α. Διατήρηση Ενέργειας & Σχέση x με υ
x = −A−A/2Θ.Ι. (x = 0)+A/2x = +AU = Umax = EK = 0U = Umax = EK = 0U = 0K = Kmax = EE = K + U = σταθερή
Ενέργεια E U(x) K(x) -A 0 +A
$\displaystyle K = \frac{1}{2}m\upsilon^2$$\displaystyle U = \frac{1}{2}Dx^2$
$$E = K + U \implies \frac{1}{2}DA^2 = \frac{1}{2}m\upsilon^2 + \frac{1}{2}Dx^2 = \frac{1}{2}m\upsilon_{\max}^2$$ $$\text{Λόγος Ενεργειών: } \frac{K}{U} = \frac{E - U}{U} = \frac{A^2 - x^2}{x^2}$$
A: πλάτος ταλάντωσης · m · Μx: αλγεβρική απομάκρυνση από Θ.Ι. · mυ: ταχύτητα · m/s · Δ · στον τύπο αλγεβρική τιμήD: σταθερά επαναφοράς · N/m = kg/s² · Μm: μάζα · kg · ΜE, K, U: ολική, κινητική, δυναμική ενέργεια ταλάντωσης · J · Μ
  • Συνδέει απευθείας τη θέση $x$ με την ταχύτητα $\upsilon$ χωρίς τον χρόνο $t$: $\upsilon = \pm\omega\sqrt{A^2 - x^2}$.
  • Στις θέσεις $x = \pm\frac{A}{\sqrt{2}}$ ισχύει $K = U = \frac{E}{2}$.
Εφαρμογή 1: Τραβάμε σώμα κατά d από τη Θ.Ι. και το αφήνουμε. Επαναλαμβάνουμε με απομάκρυνση 2d στο ίδιο ελατήριο. Να βρεθεί η νέα ενέργεια E′ ως συνάρτηση της αρχικής E.
Εφαρμογή 2: Σε Α.Α.Τ. το σώμα βρίσκεται στο x = A/2. Να βρεθούν U/E, K/E και |υ|/υmax.
Εφαρμογή 3: Σε ποια απόσταση d από τη Θ.Ι. ισχύει K = 3U; Να δοθεί ως συνάρτηση του A.
Β. Η δύναμη επαναφοράς είναι συντηρητική → Α.Δ.Ε.
  • Η δύναμη επαναφοράς $\Sigma F = -Dx$ είναι συντηρητική (διατηρητική): το έργο της εξαρτάται μόνο από την αρχική (Α) και την τελική (Τ) θέση, όχι από τη διαδρομή.
  • Σε μία πλήρη ταλάντωση το σώμα ξαναγυρίζει στην ίδια θέση, άρα το έργο της είναι μηδέν.
$$W_{F,\,A\to T} = U_A - U_T = \tfrac{1}{2}Dx_A^2 - \tfrac{1}{2}Dx_T^2$$ $$\text{Θ.Μ.Κ.Ε.:}\quad W_{F,\,A\to T} = K_T - K_A$$ $$\Rightarrow\; U_A + K_A = U_T + K_T \;\Rightarrow\; E_A = E_T \;\Rightarrow\; E = \text{σταθ.}$$
WF: έργο της δύναμης επαναφοράς από Α σε Τ · J · ΜxA, xT: αλγεβρικές απομακρύνσεις από Θ.Ι. · mK, U, E: κινητική, δυναμική, ολική ενέργεια ταλάντωσης · J · Μ

Στη Θ.Μ.Κ.Ε. μπαίνει το έργο της συνισταμένης· στην Α.Α.Τ. η συνισταμένη είναι η δύναμη επαναφοράς.

Ειδικά για τη δύναμη του ελατηρίου
$$W_{F_{\varepsilon\lambda},\,A\to T} = U_{\varepsilon\lambda,A} - U_{\varepsilon\lambda,T} = \tfrac{1}{2}k(\Delta\ell_A)^2 - \tfrac{1}{2}k(\Delta\ell_T)^2$$
k: σταθερά ελατηρίου · N/m · ΜΔℓ: επιμήκυνση ή συσπείρωση από τη Θ.Φ.Μ. · m · ΜUελ: δυναμική ενέργεια ελατηρίου · J · Μ
x · απομάκρυνση ταλάντωσηςΔℓ · παραμόρφωση ελατηρίου
Μετριέται απότη Θ.Ι.τη Θ.Φ.Μ. (θέση του άκρου του ελατηρίου με φυσικό μήκος)
Τι δείχνειαλγεβρική τιμή, με πρόσημοεπιμήκυνση ή συσπείρωση (μέτρο)
ΕνέργειαU = ½Dx²Uελ = ½k(Δℓ)²

Οριζόντιο ελατήριο: Θ.Ι. ≡ Θ.Φ.Μ. ⇒ Δℓ = |x|, D = k και U = Uελ. Κατακόρυφο ή κεκλιμένο: η Θ.Ι. απέχει Δℓ0 από τη Θ.Φ.Μ. ⇒ Δℓ = |Δℓ0 ± x| και γενικά U ≠ Uελ.

Συνολικά:

x = −A−A/2Θ.Ι. (x = 0)+A/2x = +Aa = +amaxυ = 0a = −amaxυ = 0υ = −υmaxυ = +υmaxa = 0F = +FmaxF = −FmaxF = 0U = Umax = EK = 0U = Umax = EK = 0U = 0K = Kmax = EE = K + U = σταθερή
📊 Συγκεντρωτικά Γραφήματα Α.Α.Τ. (φ0 = 0 και φ0 = π/2)
φ0 = 0: ξεκινά από τη Θ.Ι. προς τα θετικά
T/4T/23T/4Ttπ2π0φ (rad)xt = 0+A−A0x+υmax−υmax0υT/4T/23T/4Tt+amax−amax0a
x = Aημωt · υ = υmaxσυνωt · a = −amaxημωt.
Στο t = 0: x = 0, υ = +υmax, a = 0.
φ0 = π/2: ξεκινά από το άκρο x = +A
T/4T/23T/4Ttπ/2π2π5π/20φ (rad)xt = 0+A−A0x+υmax−υmax0υT/4T/23T/4Tt+amax−amax0a
x = Aημ(ωt + π/2) · υ = υmaxσυν(ωt + π/2) · a = −amaxημ(ωt + π/2).
Στο t = 0: x = +A, υ = 0, a = −amax.
📌 Η υ προηγείται της x κατά π/2 και η a της υ κατά π/2 ⇒ a και x σε αντίθεση φάσης (η a είναι η x «ανάποδα»). Η φ–t είναι ευθεία με κλίση ω.
ΣF – x (και a – x)
+DA−DA−A+AxΣFκλίση = −D
Ευθεία από την αρχή με κλίση −D (για a – x: κλίση −ω2). Η ΣF δείχνει πάντα προς τη Θ.Ι.
υ – x
+υmax−υmax−A+Axυ
Έλλειψη: x2/A2 + υ2/υmax2 = 1. Ίδια x ⇒ δύο αντίθετες ταχύτητες.
Ενέργεια – θέση (E, K, U – x)
xEEA/√2−A+AUK
Παραβολές: U = ½Dx2, K = ½D(A2 − x2)· τέμνονται στο x = ±A/√2 (K = U = E/2).
Ενέργεια – χρόνος (φ0 = 0)
tEET/4T/23T/4TKU
K και U με περίοδο T/2. Για φ0 = π/2 οι καμπύλες ανταλλάσσονται (U = Eημ2(ωt + π/2), K = Eσυν2(ωt + π/2)).

Έναρξη νέας Α.Α.Τ. · θέσεις ισορροπίας και αρχικές συνθήκες

Α. Οριζόντιο ελατήριο · 14 περιπτώσεις

Θ.Ι. είναι η θέση ισορροπίας. Θ.Φ.Μ. είναι η θέση του άκρου του ελατηρίου όταν αυτό έχει το φυσικό του μήκος.

$\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}$

Το m είναι η ταλαντούμενη μάζα και το D η σταθερά επαναφοράς. Για ένα ελατήριο D = k. Στις εκφωνήσεις το ω αναφέρεται στον συνδυασμό k και m.

Ζητάμε την x(t), την εξίσωση απομάκρυνσης σε συνάρτηση με τον χρόνο. Παίρνουμε t = 0 στην έναρξη της νέας ταλάντωσης και μετράμε το x από τη Θ.Ι. της. Χρησιμοποιούμε ω′, E′, A′, υmax′ όταν συγκρίνουμε με προηγούμενη ταλάντωση.

Λείο επίπεδο, ιδανικά ελατήρια και αμελητέα διάρκεια κρούσης. Οι αποστάσεις μετρώνται από το άκρο σύνδεσης του ελατηρίου με το σώμα. Στις κρούσεις η x(t) ισχύει μέχρι τυχόν επόμενη κρούση.

1. Τραβάμε και αφήνουμε

ΠρινkmΘ.Ι. = Θ.Φ.Μ.υ = 0ΛΕΙΟΜετά · t = 0kmΘ.Ι. = Θ.Φ.Μ.dυ = 0ΛΕΙΟ
Εφαρμογή: Σώμα μάζας m σε ελατήριο k απομακρύνεται δεξιά κατά d από τη Θ.Ι. και αφήνεται χωρίς ταχύτητα στο t = 0. Να βρεθεί η x(t). Θετική φορά δεξιά.

2. Δίνουμε ταχύτητα στη Θ.Ι.

ΠρινkmΘ.Ι. = Θ.Φ.Μ.υ = 0ΛΕΙΟΜετά · t = 0kmΘ.Ι. = Θ.Φ.Μ.υ₀ΛΕΙΟ
Εφαρμογή: Στη Θ.Ι. προσδίδουμε στο σώμα m ταχύτητα u = ωd προς τα δεξιά. Ως t = 0 παίρνουμε τη στιγμή αυτή. Να βρεθεί η x(t). Θετική φορά δεξιά.

3. Καταργούμε τη δύναμη συγκράτησης

ΠρινkmΘ.Ι. = Θ.Φ.Μ.dυ = 0FΛΕΙΟΜετά · t = 0kmΘ.Ι. = Θ.Φ.Μ.dυ = 0ΛΕΙΟ
Εφαρμογή: Σώμα m ισορροπεί ακίνητο σε ελατήριο k, με εξωτερική δύναμη F = kd προς τα δεξιά. Στο t = 0 καταργούμε τη F. Να βρεθεί η x(t). Θετική φορά δεξιά.

4. Δύο σώματα σε επαφή · αποχώριση

ΠρινkmΘ.Ι. = Θ.Φ.Μ.dυ = 0mυ₂ = 0ΛΕΙΟΜετά · t = 0kmΘ.Ι. = Θ.Φ.Μ.υ₀mυ₂ΛΕΙΟ
Εφαρμογή: Δύο σώματα m, m εφάπτονται, με το αριστερό συνδεδεμένο σε ελατήριο k. Συμπιέζουμε το ελατήριο κατά d και αφήνουμε τα σώματα από την ηρεμία. Να βρεθεί η x(t) του σώματος του ελατηρίου. Παίρνουμε t = 0 στην αποχώριση και θετική φορά δεξιά.

5. Ελαστική κρούση · ακίνητος ταλαντωτής

ΠρινkmΘ.Ι. = Θ.Φ.Μ.υ = 0mu₂ΛΕΙΟΜετά · t = 0kmΘ.Ι. = Θ.Φ.Μ.υ₀mυ₂′ = 0ΛΕΙΟ
Εφαρμογή: Το σώμα m του ελατηρίου k ηρεμεί στη Θ.Ι. Ελεύθερο σώμα m έρχεται από δεξιά με ταχύτητα μέτρου ωd και συγκρούεται ελαστικά μαζί του. Να βρεθεί η x(t). Θετική φορά αριστερά.

6. Βλήμα διαπερνά ακίνητο σώμα

ΠρινkmΘ.Ι. = Θ.Φ.Μ.υ = 0m/5uβΛΕΙΟΜετά · t = 0kmΘ.Ι. = Θ.Φ.Μ.υ₀m/5uβ′ΛΕΙΟ
Εφαρμογή: Το σώμα m ηρεμεί στη Θ.Ι. Βλήμα μάζας m/5 έρχεται από δεξιά με ταχύτητα μέτρου 5ωd και εξέρχεται προς τα αριστερά με ταχύτητα μέτρου ωd. Να βρεθεί η x(t). Θετική φορά αριστερά.

7. Πλαστική κρούση · ακίνητος ταλαντωτής

ΠρινkmΘ.Ι. = Θ.Φ.Μ.υ = 0mu₂ΛΕΙΟΜετά · t = 0k2mΘ.Ι. = Θ.Φ.Μ.υ₀ΛΕΙΟ
Εφαρμογή: Το σώμα m του ελατηρίου k ηρεμεί στη Θ.Ι. Δεύτερο σώμα m έρχεται από δεξιά με ταχύτητα μέτρου ωd και ενσωματώνεται σε αυτό. Να βρεθεί η x(t) του συσσωματώματος. Θετική φορά αριστερά.

8. Ελαστική κρούση στο 0,6 του παλιού πλάτους

ΠρινkmΘ.Ι. = Θ.Φ.Μ.0,6du₁mυ₂ = 0ΛΕΙΟΜετά · t = 0kmΘ.Ι. = Θ.Φ.Μ.0,6dυ = 0mυ₂′ΛΕΙΟ
Εφαρμογή: Το σώμα m εκτελεί Α.Α.Τ. πλάτους d. Στο x = +0,6d, κινούμενο δεξιά, συγκρούεται ελαστικά με ακίνητο ελεύθερο σώμα m. Να βρεθεί η x(t). Θετική φορά δεξιά.

9. Πλαστική κρούση εκτός Θ.Ι.

ΠρινkmΘ.Ι. = Θ.Φ.Μ.0,6du₁mu₂ΛΕΙΟΜετά · t = 0k2mΘ.Ι. = Θ.Φ.Μ.0,6dυ = 0ΛΕΙΟ
Εφαρμογή: Ο ταλαντωτής m έχει αρχικό πλάτος d. Στο x = +0,6d κινείται δεξιά και συγκρούεται πλαστικά με σώμα m που έρχεται από δεξιά με ταχύτητα μέτρου 0,8ωd. Να βρεθεί η x(t). Θετική φορά δεξιά.

10. Διέλευση βλήματος εκτός Θ.Ι.

ΠρινkmΘ.Ι. = Θ.Φ.Μ.0,6du₁m/5uβΛΕΙΟΜετά · t = 0kmΘ.Ι. = Θ.Φ.Μ.0,6dυ = 0m/5uβ′ΛΕΙΟ
Εφαρμογή: Ο ταλαντωτής m έχει αρχικό πλάτος d και στο x = +0,6d κινείται δεξιά. Βλήμα m/5 έρχεται από δεξιά με ταχύτητα μέτρου 5ωd, τον διαπερνά και εξέρχεται αριστερά με ταχύτητα μέτρου ωd. Να βρεθεί η x(t). Θετική φορά δεξιά.

11. Πλαστική κρούση · ταλάντωση πριν και μετά

ΠρινkmΘ.Ι. = Θ.Φ.Μ.u₁mu₂ΛΕΙΟΜετά · t = 0k2mΘ.Ι. = Θ.Φ.Μ.υ₀ΛΕΙΟ
Εφαρμογή: Το σώμα m έχει αρχικό πλάτος d. Όταν περνά από τη Θ.Ι. προς τα αριστερά, σώμα m από δεξιά με ταχύτητα μέτρου 3ωd το προλαβαίνει και ενσωματώνεται σε αυτό. Να βρεθεί η x(t) του συσσωματώματος. Θετική φορά αριστερά.

12. Δύο ελατήρια · ελαστική κρούση στην κοινή Θ.Ι.

Δύο ίσα σώματα μάζας m συνδέονται με ελατήρια σταθεράς k, στερεωμένα σε αντίθετους τοίχους. Όταν και τα δύο ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος, τα σώματα εφάπτονται. Από αυτή τη θέση τραβάμε το αριστερό σώμα κατά 2d αριστερά και το δεξί κατά d δεξιά. Τα αφήνουμε ταυτόχρονα.

Στην άφεσηmmΚοινή Θ.Ι.2ddΜετά την κρούση · t = 0mmΚοινή Θ.Ι.−ωd+2ωd

Οι περίοδοι είναι ίσες. Σε χρόνο T/4 τα σώματα φτάνουν μαζί στην κοινή Θ.Ι. με τις μέγιστες κατά μέτρο ταχύτητές τους. Με θετική φορά δεξιά, υ₁ = +2ωd και υ₂ = −ωd.

Εφαρμογή. Η κρούση είναι ελαστική. Να βρεθεί η x(t) του δεξιού σώματος μέχρι την επόμενη κρούση.
Οι ίσες μάζες ανταλλάσσουν ταχύτητες. Το δεξί σώμα ξεκινά από x = 0 με υ′₂ = +2ωd, άρα x₂(t) = 2d ημ(ωt).

13. Δύο ελατήρια · πλαστική κρούση στην κοινή Θ.Ι.

Δύο ίσα σώματα μάζας m συνδέονται με ελατήρια σταθεράς k, στερεωμένα σε αντίθετους τοίχους. Όταν και τα δύο ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος, τα σώματα εφάπτονται. Από αυτή τη θέση τραβάμε το αριστερό σώμα κατά 3d αριστερά και το δεξί κατά d δεξιά. Τα αφήνουμε ταυτόχρονα.

Στην άφεσηmmΚοινή Θ.Ι.3ddΜετά την κρούση · t = 0mmΚοινή Θ.Ι.V = +ωd

Οι περίοδοι είναι ίσες. Σε χρόνο T/4 τα σώματα φτάνουν μαζί στην κοινή Θ.Ι. με τις μέγιστες κατά μέτρο ταχύτητές τους. Με θετική φορά δεξιά, υ₁ = +3ωd και υ₂ = −ωd.

Εφαρμογή. Τα σώματα κολλούν. Να βρεθεί η x(t) του συσσωματώματος.
Από τη διατήρηση της ορμής, V = (3ωd − ωd)/2 = +ωd, προς τα δεξιά. Και τα δύο ελατήρια επαναφέρουν τη μάζα 2m, άρα D = 2k και ω′ = √(2k/(2m)) = ω. Η κίνηση αρχίζει από την κοινή Θ.Ι., οπότε x(t) = d ημ(ωt).

14. Δύο ελατήρια · πλαστική κρούση στο +Α

Κάθε σώμα έχει μάζα m και κάθε ελατήριο σταθερά k. Όταν τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος, οι αντικριστές όψεις των σωμάτων απέχουν 2d. Τα σώματα συγκρούονται στη Θ.Ι. του δεξιού με αντίθετες ταχύτητες ίσου μέτρου και κολλούν.

Λίγο πριν από την κρούσηmmΘ.Ι.₁Νέα Θ.Ι.Θ.Ι.₂+υ−υΘ.Ι.₁ ← d → Νέα Θ.Ι. ← d → Θ.Ι.₂Μετά την κρούση · t = 0mmΘ.Ι.₁Νέα Θ.Ι.Θ.Ι.₂V = 0Θ.Ι.₁ ← d → Νέα Θ.Ι. ← d → Θ.Ι.₂

Οι κατακόρυφες γραμμές αναφέρονται στις αντικριστές όψεις. Μετά την ένωση, η Θ.Ι. βρίσκεται στο μέσο των δύο αρχικών θέσεων. Εκεί κάθε ελατήριο είναι τεντωμένο κατά d και οι δυνάμεις τους αλληλοαναιρούνται.

Εφαρμογή. Να βρεθεί η x(t) του συσσωματώματος, με θετική φορά δεξιά.
Η συνολική ορμή είναι μηδέν, άρα V = 0. Η κρούση έγινε κατά d δεξιά από τη νέα Θ.Ι., οπότε x(0) = +d = +Α. Με D = 2k και μάζα 2m έχουμε ω′ = ω και x(t) = d ημ(ωt + π/2).
Β. Κατακόρυφο ελατήριο · ανάρτηση από πάνω ή στήριξη στο έδαφος

Στις εφαρμογές δίνονται k = 100 N/m, m = 1 kg, g = 10 m/s². Το x μετριέται από τη νέα Θ.Ι., με τη θετική φορά που ορίζεται σε κάθε περίπτωση. Οι εξισώσεις δίνονται στο SI. Τα ελατήρια είναι ιδανικά, τα σώματα συνδεδεμένα όπου απαιτείται και οι οδηγοί λείοι.

Στην ανάρτηση η Θ.Ι. βρίσκεται κατά Mg/k κάτω από τη Θ.Φ.Μ. λόγω επιμήκυνσης. Στη στήριξη από το έδαφος βρίσκεται επίσης κατά Mg/k κάτω από τη Θ.Φ.Μ., λόγω συμπίεσης. Το M είναι η μάζα που στηρίζει τελικά το ελατήριο. Μεταβολή της μάζας αλλάζει τη Θ.Ι. και την κυκλική συχνότητα.

1. Ανάρτηση · τραβάμε και αφήνουμε

Το σώμα βρίσκεται αρχικά στη Θ.Ι. Το τραβάμε προς τα κάτω κατά d και το αφήνουμε από την ηρεμία στο t = 0.

ΠρινΘ.Φ.Μ.Θ.Ι.mυ = 0Αμέσως μετά · t = 0mΘ.Φ.Μ.Θ.Ι.dυ₀ = 0

Η Θ.Ι. βρίσκεται 0,10 m κάτω από τη Θ.Φ.Μ. Οι αποστάσεις αφορούν το άκρο σύνδεσης του ελατηρίου.

Εφαρμογή: Τραβάμε το σώμα κατά d = 0,05 m κάτω από τη Θ.Ι. και το αφήνουμε από την ηρεμία στο t = 0. Θετική φορά προς τα κάτω. Να βρεθεί η x(t).

2. Ανάρτηση · καταργούμε σταθερή δύναμη

Αρχικά ισορροπεί υπό πρόσθετη δύναμη F προς τα κάτω. Στο t = 0 η δύναμη καταργείται. Η θέση ισορροπίας με τη δύναμη είναι η αρχική θέση του σώματος, 0,15 m κάτω από τη Θ.Φ.Μ.

ΠρινmΘ.Φ.Μ.Θ.Ι. παλιάFυ = 0Αμέσως μετά · t = 0mΘ.Φ.Μ.Θ.Ι. παλιάΘ.Ι. νέαdυ₀ = 0

Θ.Φ.Μ. → παλιά Θ.Ι.: 0.15 m · Θ.Φ.Μ. → νέα Θ.Ι.: 0.1 m. Οι αποστάσεις αφορούν το άκρο σύνδεσης του ελατηρίου.

Εφαρμογή: F = 5 N. Θετική φορά προς τα κάτω. Να βρεθεί η x(t).

3. Δύο σώματα με σχοινί · κόβουμε το σχοινί

Το πάνω σώμα m συνδέεται στο ελατήριο και το κάτω m κρέμεται από αβαρές σχοινί. Αρχικά ισορροπούν. Κόβουμε το σχοινί, το κάτω πέφτει και το πάνω αρχίζει Α.Α.Τ.

ΠρινmΘ.Φ.Μ.Θ.Ι. παλιάυ = 0Αμέσως μετά · t = 0mΘ.Φ.Μ.Θ.Ι. παλιάΘ.Ι. νέαdυ₀ = 0

Θ.Φ.Μ. → παλιά Θ.Ι.: 0.2 m · Θ.Φ.Μ. → νέα Θ.Ι.: 0.1 m. Οι αποστάσεις αφορούν το άκρο σύνδεσης του ελατηρίου.

Εφαρμογή: Οι δύο μάζες είναι ίσες με m. Θετική φορά προς τα κάτω. Να βρεθεί η x(t).

4. Ελαστική κρούση στη Θ.Ι.

Το συνδεδεμένο σώμα είναι ακίνητο στη Θ.Ι. Ίση μάζα κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά μαζί του.

ΠρινmΘ.Φ.Μ.Θ.Ι.u₂u₁ = 0 · u₂ = 0,50 ↑Αμέσως μετά · t = 0mΘ.Φ.Μ.Θ.Ι.u₁′u₁′ = 0,50 ↑ · u₂′ = 0

Θ.Φ.Μ. → Θ.Ι.: 0.1 m. Οι αποστάσεις αφορούν το άκρο σύνδεσης του ελατηρίου.

Εφαρμογή: Το ελεύθερο σώμα έχει ταχύτητα 0,50 m/s προς τα πάνω. Θετική φορά προς τα πάνω. Να βρεθεί η x(t).

5. Πλαστική κρούση · μηδενική κοινή ταχύτητα

Το συνδεδεμένο σώμα περνά από την παλιά Θ.Ι. προς τα κάτω. Ίση μάζα έρχεται από κάτω προς τα πάνω. Μετά την πλαστική κρούση η νέα Θ.Ι. είναι χαμηλότερα.

ΠρινmΘ.Φ.Μ.Θ.Ι. παλιάυ₁υ₂υ₁ = 0,50 ↓ · υ₂ = 0,50 ↑Αμέσως μετά · t = 02mΘ.Φ.Μ.Θ.Ι. παλιάΘ.Ι. νέαdυ₀ = 0

Θ.Φ.Μ. → παλιά Θ.Ι.: 0.1 m · Θ.Φ.Μ. → νέα Θ.Ι.: 0.2 m. Οι αποστάσεις αφορούν το άκρο σύνδεσης του ελατηρίου.

Εφαρμογή: Αμέσως πριν έχουν αντίθετες ταχύτητες ίσου μέτρου 0,50 m/s. Θετική φορά προς τα πάνω. Να βρεθεί η x(t).

6. Ελατήριο στο έδαφος · απομάκρυνση πάνω σώματος

Το κάτω σώμα m είναι συνδεδεμένο με το ελατήριο και πάνω του στηρίζεται δεύτερο m. Αφαιρούμε γρήγορα το πάνω σώμα χωρίς να δώσουμε ταχύτητα στο κάτω.

ΠρινmΘ.Φ.Μ.Θ.Ι. παλιάυ = 0Αμέσως μετά · t = 0mΘ.Φ.Μ.Θ.Ι. παλιάΘ.Ι. νέαdυ₀ = 0

Θ.Φ.Μ. → παλιά Θ.Ι.: 0.2 m · Θ.Φ.Μ. → νέα Θ.Ι.: 0.1 m. Οι αποστάσεις αφορούν το άκρο σύνδεσης του ελατηρίου.

Εφαρμογή: Αρχικά τα δύο σώματα ισορροπούν. Θετική φορά προς τα κάτω. Να βρεθεί η x(t).

7. Ελατήριο στο έδαφος · αρχική ταχύτητα

Το σώμα είναι συνδεδεμένο στο πάνω άκρο του ελατηρίου. Από τη Θ.Ι. του δίνουμε ταχύτητα προς τα πάνω.

ΠρινmΘ.Φ.Μ.Θ.Ι.υ = 0Αμέσως μετά · t = 0mΘ.Φ.Μ.Θ.Ι.υ₀υ₀ = 0,40 ↑

Θ.Φ.Μ. → Θ.Ι.: 0.1 m. Οι αποστάσεις αφορούν το άκρο σύνδεσης του ελατηρίου.

Εφαρμογή: Η αρχική ταχύτητα είναι 0,40 m/s. Θετική φορά προς τα πάνω. Να βρεθεί η x(t).

8. Ελατήριο στο έδαφος · πιέζουμε και αφήνουμε

Αρχικά το σώμα ισορροπεί στη Θ.Ι. Πιέζουμε το συνδεδεμένο σώμα προς τα κάτω, αυξάνοντας τη συμπίεση του ελατηρίου, και το αφήνουμε από ηρεμία.

ΠρινmΘ.Φ.Μ.Θ.Ι.υ = 0Αμέσως μετά · t = 0mΘ.Φ.Μ.Θ.Ι.dυ₀ = 0

Θ.Φ.Μ. → Θ.Ι.: 0.1 m. Οι αποστάσεις αφορούν το άκρο σύνδεσης του ελατηρίου.

Εφαρμογή: Πιέζουμε το σώμα κατά d = 0,04 m κάτω από τη Θ.Ι. Θετική φορά προς τα κάτω. Να βρεθεί η x(t).

9. Δύο σώματα πάνω σε ελατήριο · οριακή απώλεια επαφής

Δύο σώματα ίσης μάζας m ταλαντώνονται μαζί. Το κάτω είναι δεμένο στο κατακόρυφο ελατήριο και το πάνω ακουμπά στο κάτω. Στην ανώτερη ακραία θέση η δύναμη επαφής μηδενίζεται οριακά. Εκεί, τη στιγμή t = 0, απομακρύνουμε το πάνω σώμα χωρίς να δώσουμε ώθηση στο κάτω. Θετική φορά προς τα πάνω.

Πριν · άνω άκροΘ.Φ.Μ.Παλιά Θ.Ι. (2m)mmυ = 0 · Ν = 0Αμέσως μετά · t = 0Θ.Φ.Μ.Νέα Θ.Ι. (m)mΑ′υ₀ = 0

Στο πάνω σώμα ισχύει Ν − mg = ma. Όταν Ν = 0, και τα δύο σώματα έχουν επιτάχυνση −g. Το ελατήριο τότε έχει το φυσικό του μήκος. Η απόσταση από εκεί μέχρι την παλιά Θ.Ι. είναι 2mg/k και μέχρι τη νέα Θ.Ι. είναι mg/k.

Εφαρμογή: Το κοινό πλάτος ήταν Α = 2mg/k = 0,20 m. Το κάτω σώμα ξεκινά από το θετικό άκρο της νέας ταλάντωσης με Α′ = mg/k = 0,10 m και ω′ = √(k/m) = 10 rad/s. Με x₀ = +Α′ και υ₀ = 0, η αρχική φάση στην ημιτονοειδή μορφή είναι φ₀ = π/2. Επομένως x(t) = 0,10 ημ(10t + π/2) (SI).
Γ. Ελατήριο σε λείο κεκλιμένο επίπεδο

Το x μετριέται από τη νέα Θ.Ι., με τη θετική φορά που ορίζεται σε κάθε περίπτωση. Οι εξισώσεις δίνονται στο SI. Τα ελατήρια είναι ιδανικά, τα σώματα συνδεδεμένα όπου απαιτείται και οι οδηγοί λείοι.

Η γωνία κλίσης είναι θ. Το ελατήριο είναι παράλληλο στο επίπεδο και στερεωμένο ψηλότερα. Η Θ.Ι. απέχει Mgημθ/k από τη Θ.Φ.Μ. προς τα κάτω κατά μήκος του επιπέδου. Στα σχήματα οι διακεκομμένες γραμμές δείχνουν Θ.Φ.Μ. (γκρι), παλιά Θ.Ι. (μπλε) και νέα Θ.Ι. (πορτοκαλί). Όταν συμπίπτουν, προβάλλεται μία γραμμή.

1. Τραβάμε κατά μήκος του επιπέδου

Μετακινούμε το συνδεδεμένο σώμα από τη Θ.Ι. κατά d προς τα κάτω, κατά μήκος του επιπέδου, και το αφήνουμε.

ΠρινmΘ.Ι.υ = 0t = 0mdΘ.Ι.υ₀ = 0
Εφαρμογή. Δίνονται k = 100 N/m, m = 1 kg, g = 10 m/s², ημθ = 0,6 και συνθ = 0,8. Αφήνουμε το σώμα σε απόσταση d = 0,03 m από τη Θ.Ι. Θετική φορά προς τα κάτω στο επίπεδο. Να βρεθεί η x(t).

2. Δύο σώματα με σχοινί · κόψιμο

Δύο ίσες μάζες βρίσκονται στο ίδιο λείο επίπεδο και συνδέονται με τεντωμένο αβαρές σχοινί παράλληλο στο επίπεδο. Η ανώτερη συνδέεται στο ελατήριο. Κόβουμε το σχοινί.

Πρινmmυ = 0t = 0mmdΝέα Θ.Ι.υ₀ = 0 και για τα δύο σώματα
Εφαρμογή. Δίνονται k = 100 N/m, m = 1 kg, g = 10 m/s², ημθ = 0,6 και συνθ = 0,8. Αρχικά ισορροπούν. Θετική φορά προς τα κάτω στο επίπεδο. Να βρεθεί η x(t).

3. Οριζόντιο βλήμα σφηνώνεται στο σώμα

Σώμα μάζας m, δεμένο στο ελατήριο, ταλαντώνεται στο λείο κεκλιμένο επίπεδο. Φτάνει στο κάτω άκρο της ταλάντωσής του, σε απόσταση d από τη Θ.Ι.₁, και στιγμιαία έχει μηδενική ταχύτητα.

Εκεί δέχεται οριζόντιο βλήμα ίσης μάζας m, το οποίο κινείται από τη χαμηλή πλευρά του επιπέδου και σφηνώνεται στο σώμα. Η θέση κρούσης συμπίπτει με τη νέα Θ.Ι.₂ του συσσωματώματος.

Επομένως d = mgημθ/k. Παίρνουμε t = 0 αμέσως μετά την κρούση, x₂ = 0 στη Θ.Ι.₂ και θετική φορά προς τα πάνω στο επίπεδο.

Πρινmdυβυ₁ = 0 · οριζόντιο βλήμαt = 02mdVV = μέγιστη ταχύτητα προς τα πάνω

Θετική φορά προς τα πάνω στο επίπεδο. Το συσσωμάτωμα ξεκινά από τη Θ.Ι.₂ με μέγιστη ταχύτητα +V, άρα φ₀ = 0.

Εφαρμογή. Δίνονται m = 1 kg, k = 100 N/m και g = 10 m/s².

Η ταχύτητα του βλήματος είναι υβ = 0,50 m/s. Για τη γωνία του επιπέδου δίνονται ημθ = 0,6 και συνθ = 0,8, οπότε d = 0,06 m.

Να βρεθεί η x₂(t) του συσσωματώματος.

Κατά τη σύντομη κρούση διατηρείται η ορμή κατά μήκος του λείου επιπέδου.
mυβσυνθ = 2mV ⇒ V = 0,20 m/s, προς τα πάνω στο επίπεδο.

Για τη νέα ταλάντωση, ω₂ = √(k/(2m)) = 5√2 rad/s.
Αφού x₂(0) = 0 και V > 0, έχουμε φ₀ = 0 και Α₂ = V/ω₂ = 0,02√2 m.

x₂(t) = 0,02√2 ημ(5√2 t) m, με t σε s.

Η περίοδος $T = 2\pi\sqrt{m/D}$ της Α.Α.Τ. εξαρτάται μόνο από τα χαρακτηριστικά του συστήματος ($m, D$) και είναι ανεξάρτητη από το πλάτος $A$! Για σχέση θέσης-ταχύτητας χρησιμοποιούμε πάντα την Α.Δ.Ε. ($E = K + U$).
1.5

Φθίνουσες Μηχανικές Ταλαντώσεις

Δύναμη Απόσβεσης, Εκθετική Μείωση Πλάτους, Λόγος Διαδοχικών Πλατών & Απώλεια Ενέργειας
📉 1. Δύναμη Απόσβεσης & Εκθετική Μείωση Πλάτους
Γραφική Παράσταση Απομάκρυνσης x - t & Περιβάλλουσα Πλάτους
t x A(t) = A₀·e-Λt A₀ A₁ (t=T) A₂ (t=2T)
$\displaystyle \mathbf{F} = -b\boldsymbol{\upsilon}$|$\displaystyle A = A_0 e^{-\Lambda t}$$\displaystyle \left(\text{όπου } \Lambda = \frac{b}{2m}\right)$
$$x(t) = A_0 e^{-\Lambda t}\eta\mu(\omega t + \phi_0)$$
ω: κυκλική συχνότητα · rad/s · ΜA: πλάτος ταλάντωσης · m · Μt: χρόνος · s · Μφ, φ₀: φάση, αρχική φάση · rad · Μx: αλγεβρική απομάκρυνση από Θ.Ι. · mυ: ταχύτητα · m/s · Δ · στον τύπο αλγεβρική τιμήF: δύναμη · N = kg·m/s² · Δm: μάζα · kg · ΜΛ: συντελεστής εκθετικής μείωσης πλάτους · s⁻¹ · Μb: σταθερά απόσβεσης · kg/s = N·s/m · Μ
  • Δύναμη απόσβεσης ($\mathbf{F}_{\alpha\pi} = -b\boldsymbol{\upsilon}$): Είναι πάντα αντίρροπη της ταχύτητας, όπου $b$ η σταθερά απόσβεσης (σε $\text{kg/s}$ ή $\text{N}\cdot\text{s/m}$).
  • Συντελεστής απόσβεσης ($\Lambda = \frac{b}{2m}$): Μετριέται σε $\text{s}^{-1}$ και καθορίζει πόσο γρήγορα μειώνεται εκθετικά το πλάτος.
  • Για μικρή απόσβεση, η κίνηση είναι ψευδοπεριοδική με σταθερή περίοδο $T$.
Εφαρμογή 1: Σε φθίνουσα ταλάντωση A = A₀e−Λt. Στη στιγμή t₁ το πλάτος είναι A₀/2. Ποιο είναι το πλάτος στη στιγμή 2t₁;
Εφαρμογή 2: Για την ίδια σταθερά απόσβεσης b, το μέτρο της ταχύτητας διπλασιάζεται. Πώς μεταβάλλεται το μέτρο της δύναμης απόσβεσης;
🔄 2. Λόγος Διαδοχικών Πλατών & Πλάτος μετά από $N$ Ταλαντώσεις
Α. Σταθερός Λόγος Διαδοχικών Πλατών (Γεωμετρική Πρόοδος)
A₀ (t = 0) ÷ eΛT A₁ (t = 1T) ÷ eΛT A₂ (t = 2T)
$$\frac{A_0}{A_1} = \frac{A_1}{A_2} = \frac{A_2}{A_3} = \dots = \frac{A_{N-1}}{A_N} = e^{\Lambda T} = \text{σταθερό}$$
T: περίοδος · s · ΜA: πλάτος ταλάντωσης · m · ΜΛ: συντελεστής εκθετικής μείωσης πλάτους · s⁻¹ · ΜN: αριθμός ταλαντώσεων · χωρίς μονάδα · Μ
  • Τα διαδοχικά πλάτη προς την ίδια κατεύθυνση (κάθε περίοδο $T$) αποτελούν όρους φθίνουσας γεωμετρικής προόδου!
Εφαρμογή: Διαδοχικά πλάτη ικανοποιούν Aₙ/Aₙ₊₁ = 2. Αν ένα πλάτος είναι A, ποια είναι τα δύο επόμενα;
Β. Εύρεση Πλάτους μετά από $N$ Πλήρεις Ταλαντώσεις ($t = N \cdot T$)
$$A_N = A_0 e^{-\Lambda (N \cdot T)} \implies \frac{A_0}{A_N} = \left(e^{\Lambda T}\right)^N = \left(\frac{A_0}{A_1}\right)^N$$
T: περίοδος · s · ΜA: πλάτος ταλάντωσης · m · ΜΛ: συντελεστής εκθετικής μείωσης πλάτους · s⁻¹ · ΜN: αριθμός ταλαντώσεων · χωρίς μονάδα · Μ
📌 Βασική Αρχή Επίλυσης:
Αν μετά από $N_1$ ταλαντώσεις το πλάτος υποδιπλασιάζεται ($A_{N_1} = A_0/2$), τότε μετά από άλλες τόσες ταλαντώσεις ($2N_1$) θα υποδιπλασιαστεί ξανά: $A_{2N_1} = \frac{A_0}{2^2} = \frac{A_0}{4}$!
  • Αντικαθιστούμε πάντα $t = N \cdot T$ στην εκθετική σχέση χωρίς να χρειάζεται να υπολογίσουμε λογαρίθμους ($\ln$).
Εφαρμογή 1: Το πλάτος μετά από κάθε πλήρη ταλάντωση γίνεται τα 3/4 του προηγούμενου. Να βρεθεί το A₃/A₀.
Εφαρμογή 2: Το πλάτος υποδιπλασιάζεται κάθε 4 περιόδους. Σε πόσες περιόδους γίνεται A₀/8;
⚡ 3. Ενέργεια στη Φθίνουσα Ταλάντωση & Εκλυόμενη Θερμότητα ($Q$)
Εκθετική Μείωση Ενέργειας ($E \propto A^2$) & Υπολογισμός Ποσοστών Απώλειας
E₀ = ½ D A₀² (100% Αρχική) Απόσβεση E_τελ = E₀·e-2Λt = ½ D A² 🔥 Q = |W_απ| = E₀ - E_τελ
$$E = \frac{1}{2}DA^2 = \frac{1}{2}D\left(A_0 e^{-\Lambda t}\right)^2 \implies E(t) = E_0 e^{-2\Lambda t}$$ $$\frac{E(t)}{E_0} = \left(\frac{A(t)}{A_0}\right)^2 = e^{-2\Lambda t} \qquad \text{και} \qquad Q = |\Delta E| = E_0 - E_{\tau\varepsilon\lambda}$$
A: πλάτος ταλάντωσης · m · Μt: χρόνος · s · ΜD: σταθερά επαναφοράς · N/m = kg/s² · ΜE, K, U: ολική, κινητική, δυναμική ενέργεια ταλάντωσης · J · ΜΛ: συντελεστής εκθετικής μείωσης πλάτους · s⁻¹ · ΜQ: θερμότητα · J · Μ
  • Επειδή η ενέργεια είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους ($E \propto A^2$), μειώνεται εκθετικά με διπλάσιο εκθέτη ($-2\Lambda t$)!
  • Η ενέργεια που χάνεται μετατρέπεται σε θερμότητα ($Q = |W_{F_{\alpha\pi}}|$).
  • Κλασικό Παράδειγμα: Αν το σύστημα χάσει το $75\%$ της ενέργειάς του, του απομένει το $25\%$ ($E_{\tau\varepsilon\lambda} = \frac{1}{4}E_0$) $\implies \left(\frac{A}{A_0}\right)^2 = \frac{1}{4} \implies A = \frac{A_0}{2}$!
Εφαρμογή 1: Σε δύο ακραίες θέσεις φθίνουσας ταλάντωσης A₂ = A₁/2. Να βρεθούν E₂/E₁ και το ποσοστό ενέργειας που χάθηκε μεταξύ τους.
Εφαρμογή 2: Η αρχική ενέργεια είναι 8 J. Όταν το πλάτος γίνει A₀/2, πόση ενέργεια έχει μετατραπεί σε θερμότητα;
Στη φθίνουσα ταλάντωση το πλάτος μειώνεται ως $A = A_0 e^{-\Lambda t}$, ενώ η ενέργεια ως $E = E_0 e^{-2\Lambda t}$. Όταν το πλάτος γίνεται μισό ($A_0/2$), η ενέργεια γίνεται το ένα τέταρτο ($E_0/4$) και έχει χαθεί ως θερμότητα το $75\%$!
1.6

Εξαναγκασμένες Ταλαντώσεις & Συντονισμός

Συχνότητα Ταλάντωσης, Ενεργειακό Ισοζύγιο Διεγέρτη & Καμπύλη Συντονισμού
⚙️ 1. Συχνότητα Εξαναγκασμένης Ταλάντωσης & Ενεργειακό Ισοζύγιο
Ροή Ενέργειας από τον Διεγέρτη & Σταθερό Πλάτος (Μόνιμη Κατάσταση)
ΔΙΕΓΕΡΤΗΣ Συχνότητα f_δ (Προσφέρει W_διεγ) ΣΥΣΤΗΜΑ f_συστ = f_δ Πλάτος A = σταθ. ΑΠΟΣΒΕΣΗ 🔥 Θερμότητα Q (|W_απ| = W_διεγ)
$$f_{\sigma\upsilon\sigma\tau} = f_{\delta} \quad \left(\text{ενώ } f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}\right) \qquad \Big| \qquad W_{\delta\iota\varepsilon\gamma\varepsilon\rho\tau\eta} = |W_{\alpha\pi o\sigma\beta\varepsilon\sigma\eta\varsigma}| = Q$$
t: χρόνος · s · Μυ: ταχύτητα · m/s · Δ · στον τύπο αλγεβρική τιμήD: σταθερά επαναφοράς · N/m = kg/s² · Μm: μάζα · kg · Μb: σταθερά απόσβεσης · kg/s = N·s/m · ΜQ: θερμότητα · J · Μ
  • Στη μόνιμη κατάσταση, το σύστημα ταλαντώνεται αποκλειστικά με τη συχνότητα του διεγέρτη ($f_{\sigma\upsilon\sigma\tau} = f_{\delta}$)!
  • Η ιδιοσυχνότητα $f_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{D/m}$ καθορίζει μόνο πότε έχουμε συντονισμό ($f_{\delta} = f_0$).
  • Σε κάθε περίοδο $T = 1/f_{\delta}$, το έργο του διεγέρτη αναπληρώνει ακριβώς τις απώλειες ενέργειας λόγω τριβών, ώστε η ενέργεια $E = \frac{1}{2}DA^2$ να μένει σταθερή!
Εφαρμογή 1: Ο διεγέρτης έχει συχνότητα 5 Hz. Στη μόνιμη κατάσταση να βρεθούν η συχνότητα και η περίοδος της ταλάντωσης.
Εφαρμογή 2: Σε μία περίοδο μόνιμης εξαναγκασμένης ταλάντωσης παράγονται 2 J θερμότητας. Πόσο έργο παράγει ο διεγέρτης στην ίδια περίοδο;
📈 2. Καμπύλη Συντονισμού ($A - f_{\delta}$) & Μεταβολή του Πλάτους
Α. Συντονισμός ($f_{\delta} = f_0$) & Σύγκριση Συχνοτήτων ($f_1, f_2$)
f_δ A F₀/D Συντονισμός (A_max) f₀ A₁=A₂ f₁ f₂
  • Στο $f_{\delta} = f_0$ (Συντονισμός): Το πλάτος $A$ γίνεται μέγιστο ($A_{\max}$).
  • Αν δύο συχνότητες $f_1, f_2$ δίνουν το ίδιο πλάτος ($A_1 = A_2$), βρίσκονται εκατέρωθεν της $f_0$: $f_1 < f_0 < f_2$!
  • Αν $f_{\delta} < f_0$, αυξάνοντας την $f_{\delta}$ πλησιάζουμε την κορυφή $\implies$ το $A$ αυξάνεται. Αν $f_{\delta} > f_0$, αυξάνοντας την $f_{\delta}$ απομακρυνόμαστε $\implies$ το $A$ μειώνεται.
Εφαρμογή 1: Στην προσέγγιση ασθενούς απόσβεσης το σύστημα συντονίζεται στη συχνότητα f₀. Αν η μάζα τετραπλασιαστεί με ίδιο k, σε ποια συχνότητα πρέπει να ρυθμιστεί ο διεγέρτης για νέο συντονισμό;
Εφαρμογή 2: Με σταθερή μάζα τετραπλασιάζουμε το k. Να βρεθεί η νέα ιδιοσυχνότητα ως συνάρτηση της αρχικής f₀.
Εφαρμογή: Για ίδια μάζα, k και πλάτος διεγείρουσας δύναμης, συγκρίνουμε δύο ασθενείς αποσβέσεις b₁ < b₂. Σε ποια περίπτωση είναι μεγαλύτερο το μέγιστο πλάτος της καμπύλης συντονισμού;
Β. Επίδραση της Σταθεράς Απόσβεσης ($b_1 < b_2 < b_3$)
f_δ A b₁ (μικρό b) b₂ (μεσαίο b) b₃ (μεγάλο b) f₀ = 1/(2π)√(D/m)
📌 Τι αλλάζει και τι μένει ίδιο όταν μεταβάλλεται το $b$:
1. Η συχνότητα συντονισμού ($f_0$) ΔΕΝ αλλάζει (εξαρτάται μόνο από τα $D$ και $m$).
2. Το μέγιστο πλάτος ($A_{\max}$) αλλάζει: Όσο αυξάνεται το $b$, η καμπύλη «χαμηλώνει» ($b_1 < b_2 < b_3 \implies A_{\max,1} > A_{\max,2} > A_{\max,3}$).
3. Για $f_{\delta} \to 0$, όλες οι καμπύλες ξεκινούν από το $A_0 = F_0/D$, ενώ για $f_{\delta} \to \infty$ τείνουν στο $A \to 0$.
Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση το σύστημα ταλαντώνεται πάντα με τη συχνότητα του διεγέρτη ($f_{\sigma\upsilon\sigma\tau} = f_{\delta}$). Όταν $f_{\delta} = f_0$ έχουμε Συντονισμό (μέγιστο πλάτος $A_{\max}$ και βέλτιστη μεταφορά ενέργειας)!

Ρυθμός μεταβολής · στιγμιαίος και μέσος

«Ρυθμός μεταβολής του Α» σκέτο σημαίνει στιγμιαίος ρυθμός. Αναλυτικά, με γράφημα: Τυπολόγιο 1 · Κρούσεις.

Σε μία στιγμή · στιγμιαίος
dA/dt = b
Κλίση της εφαπτομένης στο Α–t. Γενικά μεταβάλλεται με τον χρόνο.
Σε διάστημα Δt · μέσος
ΔA/Δt = (Aτελ − Aαρχ)/Δt
Κλίση της χορδής στο Α–t: ο σταθερός ρυθμός που θα έδινε την ίδια ΔΑ στο ίδιο Δt.

Μόνο όταν η Α–t είναι ευθεία ο ρυθμός είναι σταθερός και dA/dt = ΔA/Δt. Μονάδα: μονάδα του Α ανά s. Για διανύσματα: ομόλογες αλγεβρικές συνιστώσες.

1. Ρυθμοί στην απλή αρμονική ταλάντωση

Α.Α.Τ. · Οι 4 Βασικοί Ρυθμοί Μεταβολής

Οι ακόλουθοι ρυθμοί είναι στιγμιαίοι. Για μέσους ρυθμούς χρησιμοποιούμε μεταβολή / διάρκεια· σύγκριση και παράδειγμα παρακάτω.

$$\text{1. Ταχύτητας: } \frac{d\upsilon}{dt} = \alpha = -\omega^2 x$$
$\displaystyle \text{2. Ορμής: }$$\displaystyle \Sigma\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt}$$\displaystyle = -D\mathbf{x}$
$$\text{3. Κινητικής Ενέργειας: } \frac{dK}{dt} = \Sigma F \cdot \upsilon = -D \cdot x \cdot \upsilon$$ $$\text{4. Δυναμικής Ενέργειας: } \frac{dU}{dt} = -\frac{dK}{dt} = +D \cdot x \cdot \upsilon$$
ω: κυκλική συχνότητα · rad/s · Μx: αλγεβρική απομάκρυνση από Θ.Ι. · mυ: ταχύτητα · m/s · Δ · στον τύπο αλγεβρική τιμήα: επιτάχυνση · m/s² · Δ · στον τύπο αλγεβρική τιμήF: δύναμη · N = kg·m/s² · ΔD: σταθερά επαναφοράς · N/m = kg/s² · ΜE, K, U: ολική, κινητική, δυναμική ενέργεια ταλάντωσης · J · Μ
  • Επειδή $E = K + U = \text{σταθ.}$, ισχύει πάντα $\frac{dE}{dt} = 0 \implies \frac{dK}{dt} = -\frac{dU}{dt}$.
  • Οι ρυθμοί μεταβολής των $K$ και $U$ μηδενίζονται τόσο στη Θ.Ι. ($x=0$) όσο και στα ακρότατα ($\upsilon=0$), ενώ γίνονται μέγιστοι στις θέσεις $x = \pm\frac{A}{\sqrt{2}}$: $\left|\frac{dK}{dt}\right|_{\max} = \frac{1}{2}DA\upsilon_{\max} = \omega E$!
⚠️ Προσοχή στα Πρόσημα: Στους τύπους $\frac{dK}{dt} = -Dx\upsilon$ και $\frac{dU}{dt} = +Dx\upsilon$, αντικαθιστούμε τα $x$ και $\upsilon$ με τα πρόσημά τους!
Κίνησηx, υdK/dt = −DxυdU/dt = +Dxυ
προς τη Θ.Ι.αντίθετα πρόσημα> 0 · η K αυξάνεται< 0 · η U μειώνεται
προς τα ±Aίδια πρόσημα< 0 · η K μειώνεται> 0 · η U αυξάνεται
στη Θ.Ι. και στα ±Ax = 0 ή υ = 0= 0 · K και U παίρνουν ακραίες τιμές

Μηδενισμοί και μέγιστα

ΡυθμόςΙσούται μεΜηδενίζεταιΜέγιστη απόλυτη τιμή
Ρυθμός μεταβολής θέσης (ταχύτητα) · m/s
dxdt		υx = ±AωA (Θ.Ι.)
Ρυθμός μεταβολής ταχύτητας (επιτάχυνση) · m/s²
dυdt		a = −ω2xΘ.Ι.ω2A (x = ±A)
Ρυθμός μεταβολής ορμής · N
dpdt		ΣF = −DxΘ.Ι.DA (x = ±A)
Ρυθμός μεταβολής κινητικής ενέργειας · W
dKdt		ΣF·υ = −DxυΘ.Ι. και x = ±AωE (x = ±A/√2)
Ρυθμός μεταβολής δυναμικής ενέργειας · W
dUdt		−dK/dt = DxυΘ.Ι. και x = ±AωE (x = ±A/√2)
Ρυθμός μεταβολής ενέργειας ελατηρίου · W
dUελdt		−Fελ·υφυσικό μήκος ή υ = 0—

Μέσοι ρυθμοί · ενέργεια και ισχύς

Ρυθμός μεταβολής · μονάδαΣτιγμιαίος ρυθμόςΜέσος ρυθμός στο Δt
Ρυθμός μεταβολής ορμής · Ndp/dt = ΣF = −DxΔp/Δt = ΣFμέση
Ρυθμός μεταβολής κινητικής ενέργειας Α.Α.Τ. · WdK/dt = −DxυΔK/Δt = [K₂ − K₁]/Δt
Ρυθμός μεταβολής δυναμικής ενέργειας Α.Α.Τ. · WdU/dt = DxυΔU/Δt = [U₂ − U₁]/Δt = −ΔK/Δt
Ρυθμός μεταβολής δυναμικής ενέργειας ελατηρίου · WdUελ/dt = −Fελ·υΔUελ/Δt = [½k(Δℓ₂)² − ½k(Δℓ₁)²]/Δt

Στα −Dxυ και Dxυ, τα x και υ είναι αλγεβρικές τιμές. Στον διανυσματικό νόμο F = −Dx τα F, x είναι έντονα. Η σχέση x = Aημ(ωt + φ₀) δίνει αλγεβρική απομάκρυνση.

ΔKΔt = ½mυ₂² − ½mυ₁²t₂ − t₁   ·   ΔUΔt = ½Dx₂² − ½Dx₁²t₂ − t₁

Παράδειγμα Α.Α.Τ., από Θ.Ι. σε άκρο: Δt = T/4, K₁ = E, K₂ = 0 ⇒ ΔK/Δt = −4E/T. Ταυτόχρονα ΔU/Δt = +4E/T. Σε μία πλήρη περίοδο οι δύο μέσοι ρυθμοί είναι μηδέν, παρότι οι στιγμιαίοι ρυθμοί δεν είναι διαρκώς μηδενικοί.

Εφαρμογή 1: Σε Α.Α.Τ. D = 100 N/m και x = +0,02 m. Να βρεθεί ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της ορμής.
Εφαρμογή 2: Στη θέση x = +A/2 το σώμα κινείται προς τη Θ.Ι. Να βρεθούν dK/dt και dU/dt ως συναρτήσεις των D, A και υmax.
Εφαρμογή 3: Σε Α.Α.Τ. E = 2 J και T = 4 s. Να βρεθεί ο μέσος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας από τη Θ.Ι. έως το επόμενο άκρο.
Εφαρμογή 4: Σώμα μάζας m ξεκινά από τη Θ.Ι. με υ = +υmax. Να βρεθεί ο μέσος ρυθμός μεταβολής της ορμής μέχρι την πρώτη άφιξή του στο +A, ως συνάρτηση των m, υmax και T.
Εφαρμογή 5: Σε ίδιο ελατήριο διπλασιάζουμε το πλάτος της Α.Α.Τ. Να βρεθεί ο λόγος των μέγιστων μέτρων του dK/dt στις δύο ταλαντώσεις.

2. Ρυθμοί στη φθίνουσα ταλάντωση

Για γραμμική απόσβεση Fαπ = −bυ, χωρίς διεγέρτη, με E = K + U = ½mυ² + ½Dx². Το b εδώ είναι η σταθερά απόσβεσης, σε kg/s.

dp/dt = ΣF = −Dx − bυ
dK/dt = −Dxυ − bυ²
dU/dt = Dxυ
dE/dt = −bυ²   ·   dQ/dt = bυ²

Τα x, υ και ΣF είναι αλγεβρικές τιμές στον άξονα της κίνησης. Η μηχανική ενέργεια μειώνεται καθώς μετατρέπεται σε θερμότητα. Οι ρυθμοί dE/dt και dQ/dt μηδενίζονται στις ακραίες θέσεις, όπου υ = 0. Το μέτρο τους μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιείται το |υ|, κοντά στη Θ.Ι. Η κινητική ενέργεια επηρεάζεται τόσο από τη δύναμη επαναφοράς όσο και από την απόσβεση.

Ρυθμός μεταβολής · μονάδαΣτιγμιαίος ρυθμόςΜέσος ρυθμός στο Δt
Ρυθμός παραγωγής θερμότητας λόγω απόσβεσης · WdQ/dt = bυ²ΔQ/Δt = (bυ²)μέση
Ρυθμός μεταβολής μηχανικής ενέργειας με απόσβεση · WdE/dt = −bυ²ΔE/Δt = −ΔQ/Δt

Σε οποιοδήποτε διάστημα ισχύουν ΔE = −ΔQ και ΔK + ΔU + ΔQ = 0. Οι μέσοι ρυθμοί της K και της U υπολογίζονται από τις αντίστοιχες τελικές και αρχικές τιμές, διαιρεμένες με Δt.

Εφαρμογή 1: Σε φθίνουσα ταλάντωση b = 2 kg/s και υ = −0,5 m/s. Να βρεθούν dQ/dt και dE/dt.
Εφαρμογή 2: Με ίδιο b, το μέτρο της ταχύτητας γίνεται το μισό. Να βρεθεί ο λόγος του νέου προς τον αρχικό ρυθμό παραγωγής θερμότητας.
Εφαρμογή 3: Χωρίς διεγέρτη, η μηχανική ενέργεια μειώνεται από 6 J σε 2 J σε 4 s. Να βρεθούν οι μέσοι ρυθμοί ΔE/Δt και ΔQ/Δt.

3. Ρυθμοί στην εξαναγκασμένη ταλάντωση

Ο διεγέρτης ασκεί δύναμη Fδ και παρέχει ή αφαιρεί ενέργεια με στιγμιαία ισχύ Pδ = Fδ·υ. Με γραμμική απόσβεση ισχύει το ακόλουθο ενεργειακό ισοζύγιο.

dp/dt = −Dx − bυ + Fδ
dK/dt = −Dxυ − bυ² + Pδ
dU/dt = Dxυ
dWδ/dt = Pδ
dE/dt = Pδ − bυ²   ·   dQ/dt = bυ²

Στον τύπο της ορμής χρησιμοποιούμε αλγεβρικές συνιστώσες. Η ισχύς του διεγέρτη μηδενίζεται όταν η δύναμή του ή η ταχύτητα μηδενίζεται. Το πρόσημο της Pδ δείχνει αν ο διεγέρτης προσφέρει ή αφαιρεί ενέργεια εκείνη τη στιγμή.

Ρυθμός μεταβολής · μονάδαΣτιγμιαίος ρυθμόςΜέσος ρυθμός στο Δt
Ρυθμός παραγωγής έργου διεγέρτη (ισχύς) · WdWδ/dt = Fδ·υΔWδ/Δt = Pδ,μέση
ΔE/Δt = Pδ,μέση − ΔQ/Δt

Στη μόνιμη περιοδική κατάσταση, σε μία ολόκληρη περίοδο, ΔE = 0. Επομένως Pδ,μέση = ΔQ/T· ο διεγέρτης αναπληρώνει κατά μέσο όρο την ενέργεια που χάνεται λόγω απόσβεσης.

Μέση ισχύς σημαίνει έργο ή μεταφερόμενη ενέργεια στο διάστημα διά Δt. Ισούται με τη στιγμιαία ισχύ σε όλο το διάστημα μόνο αν αυτή είναι σταθερή. Γενικά (xυ)μέση ≠ xμέση·υμέση.

Εφαρμογή 1: Μια στιγμή η ισχύς του διεγέρτη είναι 3 W και ο ρυθμός παραγωγής θερμότητας 1 W. Να βρεθεί ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της μηχανικής ενέργειας.
Εφαρμογή 2: Σε μόνιμη περιοδική κατάσταση T = 0,5 s και σε μία περίοδο παράγεται θερμότητα 2 J. Να βρεθούν η μέση ισχύς του διεγέρτη και ο μέσος ρυθμός μεταβολής της μηχανικής ενέργειας.
Εφαρμογή 3: Μια στιγμή Fδ = −4 N και υ = +0,5 m/s. Να βρεθεί ο ρυθμός παραγωγής έργου του διεγέρτη και να ερμηνευτεί το πρόσημό του.

Σύντομη σύγκριση ρυθμών

Ρυθμός · μονάδαΑ.Α.Τ.ΦθίνουσαΕξαναγκασμένη
dp/dt · N−Dx−Dx − bυ−Dx − bυ + Fδ
dK/dt · W−Dxυ−Dxυ − bυ²−Dxυ − bυ² + Pδ
dU/dt · WDxυDxυDxυ
dE/dt · W0−bυ²Pδ − bυ²
dQ/dt · W0bυ²bυ²

Οι κλίσεις των διαγραμμάτων x–t, υ–t, p–t και K–t ή U–t δίνουν αντίστοιχα ταχύτητα, επιτάχυνση, συνισταμένη δύναμη και ρυθμό μεταβολής ενέργειας.

1.3–1.6

Μεθοδολογικά Κλειδιά

Κλειδιά για ασκήσεις στις ταλαντώσεις
🧭 Μεθοδολογικά Κλειδιά

🧭 Αρχική φάση

Μόνο από x0 και το πρόσημο της υ0. Ξεκινά από Θ.Ι. προς τα + ⇒ φ0 = 0 · από το +A ⇒ φ0 = π/2.

⏱️ Χρόνοι-κλειδιά

Θ.Ι. → άκρο: T/4 · 0 → A/2: T/12 · A/2 → A: T/6 · 0 → A/√2: T/8. Για τα υπόλοιπα: Δt = Δφ/ω.

⚙️ Απόδειξη Α.Α.Τ.

Θ.Ι. (ΣF = 0) → τυχαία θέση +x (αλγεβρική ΣF) → αντικατάσταση ⇒ ΣF = −Dx και βρίσκω D.

⚡ Θέση – ταχύτητα

Α.Δ.Ε.: ½mυ2 + ½Dx2 = ½DA2. K = nU ⇒ x = ±A/√(n+1).

🎯 Νέα θέση ισορροπίας

Σταθερή F, κοπή νήματος ή αλλαγή μάζας ⇒ βρίσκω νέα Θ.Ι. (ΣF = 0)· το νέο πλάτος είναι η απόσταση από αυτήν όπου υ = 0 (ή από Α.Δ.Ε.).

💥 Κρούση με ταλαντωτή

Α.Δ.Ο. τη στιγμή της κρούσης ⇒ νέα υ· νέο ω = √(D/mολ)· νέο πλάτος από ½DA′2 = ½mολυ′2 + ½Dx′2 (x′ από τη νέα Θ.Ι.).

📉 Φθίνουσα

Ποσοστό απώλειας ενέργειας: 1 − (A/A0)2. Χάθηκε 75% ⇒ A = A0/2 · χάθηκε 36% ⇒ A = 0,8A0.

📈 Εξαναγκασμένη

f ταλάντωσης = fδ πάντα. Λόγος μεγίστων ενεργειών Umax/Kmax = (f0/fδ)2 ⇒ ίσες μόνο στον συντονισμό.
Χρυσός Κανόνας Ταλαντώσεων:
Στην Α.Α.Τ. η ιδιοπερίοδος T = 2π√(m/D) είναι ανεξάρτητη του πλάτους A. Στη Φθίνουσα το πλάτος μειώνεται ως A = A0e−Λt και η ενέργεια ως E = E0e−2Λt (όταν το A γίνεται μισό, η E γίνεται E0/4). Στην Εξαναγκασμένη το σώμα ταλαντώνεται πάντα με fδ και συντονίζεται όταν fδ = f0!
▲

Χρήσιμες διευκρινίσεις για τη λύση

Αρχική φάση: ημ φ₀ = x₀/A και το πρόσημο της υ₀ επιλέγει τη σωστή λύση. Για χρόνο διαδρομής χρησιμοποιούμε τη γωνία που διαγράφεται προς τη φορά κίνησης στον κύκλο αναφοράς.

Κατακόρυφο ελατήριο: x μετριέται από τη θέση ισορροπίας, ενώ η παραμόρφωση του ελατηρίου από το φυσικό μήκος. Η U = ½Dx² είναι δυναμική ενέργεια ταλάντωσης· δεν ταυτίζεται γενικά με την ½k(Δℓ)² του ελατηρίου.

Φθίνουσα: η εκθετική περιβάλλουσα πλάτους αφορά γραμμική απόσβεση F = −bυ στην υποκρίσιμη περιοχή. Η σχέση E ∝ A² εφαρμόζεται στις διαδοχικές ακραίες θέσεις· η ομαλή εκθετική περιγραφή της ενέργειας είναι προσέγγιση ασθενούς απόσβεσης.

Εξαναγκασμένη: στη μόνιμη κατάσταση η συχνότητα είναι του διεγέρτη. Για ασθενή απόσβεση η μέγιστη απόκριση εμφανίζεται κοντά στην ιδιοσυχνότητα.