Δ: διανυσματικό μέγεθος · Μ: μονόμετρο. Έντονα γράμματα για διανύσματα· απλά γράμματα για μέτρα ή αλγεβρικές συνιστώσες, όπως ορίζεται στον τύπο. Το Δ πριν από σύμβολο δηλώνει μεταβολή (στις σχέσεις αβεβαιότητας: αβεβαιότητα).
Χρυσό περίγραμμα και ★: οι ήδη σημειωμένοι δοσμένοι τύποι. Ασημί περίγραμμα και απαλό γκρι: πρόσθετοι τύποι / εξαγωγές. Έντονο σύμβολο: διάνυσμα. Απλό σύμβολο: μέτρο ή αλγεβρική συνιστώσα.
Συμβολισμός: έντονα γράμματα = διανύσματα. Δ στην ετικέτα = διανυσματικό, Μ = μονόμετρο. Στους τύπους μίας διάστασης οι απλοί χαρακτήρες v, p, F παριστάνουν αλγεβρικές συνιστώσες· στους τύπους μέτρων το αναφέρουμε. Το Δ πριν από μέγεθος σημαίνει μεταβολή. Τα βέλη στα σχήματα δείχνουν τη φορά.
Η ορμή έχει την ίδια διεύθυνση και φορά με την ταχύτητα.
K ≥ 0: η κινητική ενέργεια δεν εξαρτάται από τη φορά της κίνησης.
Μικρόκοσμος — σκέδαση: Κρούση ονομάζεται και κάθε φαινόμενο του μικρόκοσμου στο οποίο τα «συγκρουόμενα» σωματίδια αλληλεπιδρούν με σχετικά μεγάλες δυνάμεις για πολύ μικρό χρόνο, χωρίς να είναι απαραίτητη η επαφή τους. Το φαινόμενο αυτό στη σύγχρονη φυσική ονομάζεται και σκέδαση.
Α.Δ.Ο.: εφαρμόζεται στο σύστημα των δύο σωμάτων όταν η συνολική εξωτερική ώθηση κατά την κρούση είναι αμελητέα. Στην ίδια ευθεία επιλέγουμε θετική φορά και χρησιμοποιούμε αλγεβρικές ταχύτητες.
Κρούση με ακλόνητο εμπόδιο (π.χ. τοίχο): Η ορμή του σώματος δεν διατηρείται, επειδή το εμπόδιο του ασκεί εξωτερική ώθηση. Δεν εφαρμόζουμε Α.Δ.Ο. για το σώμα μόνο.
Σύστημα: τα δύο σώματα. Η συνολική εξωτερική ώθηση κατά την κρούση θεωρείται αμελητέα. Σχεδιάζουμε πριν–μετά, επιλέγουμε θετική φορά και γράφουμε τις ταχύτητες με πρόσημο.
Σημείωση: αμέσως πριν και μετά, όταν η δυναμική ενέργεια δεν αλλάζει, διατηρείται και η μηχανική ενέργεια: Eμηχ,πριν = Eμηχ,μετά. Στην ελαστική κρούση Q = 0.
Εφαρμογή: m₁ = 3m₂, v₁ = 2υ, v₂ = υ (και οι δύο δεξιά).
Ίσες μάζες m₁ = m₂: προκύπτει ανταλλαγή ταχυτήτων, ακόμη και όταν κινούνται αρχικά και τα δύο σώματα.
Εφαρμογή: m₁ = m₂, v₁ = 2υ, v₂ = υ (και οι δύο δεξιά).
Εφαρμογή: m₂ = 2m₁, v₁ = 2υ (δεξιά), v₂ = υ (αριστερά).
Θετική φορά: προς τα δεξιά (+x).
Για όλες τις παραπάνω περιπτώσεις: v₁ > 0 και v₂ = 0 πριν.
Και τα δύο κινούνται προς τα δεξιά: 0 < v₁′ < v₁ < v₂′.
Εφαρμογή: m₁ = 3m₂, v₁ = υ, v₂ = 0.
Για όλες τις παραπάνω περιπτώσεις: v₁ > 0 και v₂ = 0 πριν.
Το πρώτο σταματά και το δεύτερο αποκτά την αρχική ταχύτητα του πρώτου.
Εφαρμογή: m₁ = m₂, v₁ = υ, v₂ = 0.
Για όλες τις παραπάνω περιπτώσεις: v₁ > 0 και v₂ = 0 πριν.
Το πρώτο ανακρούεται και το δεύτερο κινείται δεξιά. Οι ταχύτητες έχουν αντίθετες φορές.
Εφαρμογή: m₂ = 2m₁, v₁ = υ, v₂ = 0.
Για όλες τις παραπάνω περιπτώσεις: v₁ > 0 και v₂ = 0 πριν.
Ειδικά για m₂ = 3m₁: ίσα μέτρα και αντίθετες φορές, δηλαδή v₁′ = −v₂′.
Εφαρμογή: m₂ = 3m₁, v₁ = υ, v₂ = 0.
Για όλες τις παραπάνω περιπτώσεις: v₁ > 0 και v₂ = 0 πριν.
Πολύ βαρύς στόχος: το πρώτο επιστρέφει σχεδόν με το ίδιο μέτρο ταχύτητας.
Εφαρμογή: m₂ = 99m₁, v₁ = υ, v₂ = 0.
Για όλες τις παραπάνω περιπτώσεις: v₁ > 0 και v₂ = 0 πριν.
Το πρώτο συνεχίζει σχεδόν ανεπηρέαστο και ο ελαφρύς στόχος αποκτά περίπου διπλάσιο μέτρο ταχύτητας.
Εφαρμογή: m₁ = 99m₂, v₁ = υ, v₂ = 0.
Σύστημα: τα δύο σώματα, με αμελητέα συνολική εξωτερική ώθηση. Η ορμή διατηρείται. Η κινητική ενέργεια μειώνεται, ενώ η συνολική ενέργεια διατηρείται.
Το Q είναι η θερμότητα που εκλύεται κατά την κρούση (αναλυτικά: δες ενότητα 3). Δεν εφαρμόζουμε διατήρηση κινητικής ενέργειας.
Θετική φορά: προς τα δεξιά (+x).
Η Α.Δ.Ο. είναι μία εξίσωση. Για αριθμητικό προσδιορισμό των δύο τελικών ταχυτήτων χρειάζεται ακόμη ένα δεδομένο.
Εφαρμογή: m₁ = 2 kg, m₂ = 1 kg, v₁ = 4 m/s (δεξιά), v₂ = 2 m/s (αριστερά), Q = 9 J.
Λείο οριζόντιο δάπεδο · το βλήμα εξέρχεται προς τα δεξιά, μπροστά από τον τάκο.
Δεν σχηματίζεται συσσωμάτωμα. Για το συγκεκριμένο σχήμα υ′ > V > 0.
Εφαρμογή: M = 10m, αρχική ταχύτητα βλήματος υ, τάκος αρχικά ακίνητος· δίνεται υ′ = υ/2 στην έξοδο.
Ένωση των σωμάτων → συσσωμάτωμα μάζας m₁ + m₂, με κοινή ταχύτητα V.
Θετική φορά: προς τα δεξιά (+x).
Εφαρμογή: m₂ = 2m₁, v₁ = υ, v₂ = 0.
Τα υ₁, υ₂ είναι θετικά μέτρα. Επιλέγουμε +x προς τα δεξιά· το V είναι αλγεβρικό.
Εφαρμογή: m₁ = 2m₂, υ₁ = 2υ (δεξιά), υ₂ = υ (αριστερά).
Ίδιες αντίθετες αρχικές φορές όπως στο προηγούμενο σχήμα.
Αντίθετες ορμές: η συνολική αρχική ορμή είναι μηδέν. Το συσσωμάτωμα μένει ακίνητο.
Εφαρμογή: m₂ = 2m₁, υ₁ = 2υ (δεξιά), υ₂ = υ (αριστερά).
Ίδιες αντίθετες αρχικές φορές όπως στο προηγούμενο σχήμα.
Μεγαλύτερη κατά μέτρο ορμή του πρώτου: το συσσωμάτωμα κινείται δεξιά.
Εφαρμογή: m₁ = 2m₂, υ₁ = 2υ (δεξιά), υ₂ = υ (αριστερά).
Ίδιες αντίθετες αρχικές φορές όπως στο προηγούμενο σχήμα.
Μεγαλύτερη κατά μέτρο ορμή του δεύτερου: το συσσωμάτωμα κινείται αριστερά.
Εφαρμογή: m₂ = 2m₁, υ₁ = υ (δεξιά), υ₂ = 2υ (αριστερά).
Κρούση σε ακλόνητο εμπόδιο: η ορμή του προσπίπτοντος σώματος δεν διατηρείται, επειδή η δύναμη του εμποδίου προκαλεί μη αμελητέα μεταβολή της ορμής του.
Για τη μέση δύναμη, δες τους ρυθμούς μεταβολής. Ρυθμοί · ορισμός ↓
Στην ελαστική κρούση: ½mv² = ½mv′². Το σώμα επιστρέφει, άρα v′ = −v.
Εφαρμογή: v = 4 m/s προς τον τοίχο · ελαστική κρούση.
Παράλληλα στον τοίχο: η εξωτερική ώθηση είναι αμελητέα, άρα η ορμή διατηρείται. Κάθετα στον τοίχο: η εξωτερική ώθηση δεν είναι αμελητέα, άρα η ορμή του σώματος δεν διατηρείται.
Οι δύο τελευταίες σχέσεις αφορούν ελαστική ανάκλαση: η κάθετη συνιστώσα αντιστρέφεται και η παράλληλη μένει ίδια. Γωνία πρόσπτωσης = γωνία ανάκλασης.
Εφαρμογή: αρχικό μέτρο ταχύτητας υ, θ = 60° με την κάθετο · ελαστική κρούση.
Ο τάκος M είναι αρχικά ακίνητος σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Το βλήμα m προσπίπτει λοξά προς τα κάτω και ενσωματώνεται. Μετά το συσσωμάτωμα κινείται οριζόντια, παραμένοντας σε επαφή με το δάπεδο.
Στο σχήμα τα βέλη των συνιστωσών δείχνουν τη φορά· η υᵧ είναι αρνητική με τη θετική φορά προς τα πάνω.
Στον x ισχύει Α.Δ.Ο. Στον y: py,πριν = −mυ ημθ, ενώ py,μετά = 0. Δεν ισχύει Α.Δ.Ο. στον y, επειδή το δάπεδο ασκεί μη αμελητέα εξωτερική ώθηση.
Εφαρμογή: M = 9m, αρχικό μέτρο ταχύτητας βλήματος υ, θ = 60°, τάκος αρχικά ακίνητος.
Κάτοψη λείου οριζόντιου επιπέδου. Τα σώματα κινούνται αρχικά σε κάθετες διευθύνσεις και ενώνονται. Η εξωτερική ώθηση είναι αμελητέα στους δύο οριζόντιους άξονες.
Πρώτα εφαρμόζουμε Α.Δ.Ο. χωριστά στους άξονες. Έπειτα, αν ζητείται, συνθέτουμε τις συνιστώσες.
Εφαρμογή: m₁ = m₂, v₁ = 3υ, v₂ = 4υ, v₁ ⟂ v₂.
Το δεύτερο σώμα αρχικά είναι ακίνητο. Μετά και τα δύο σώματα κινούνται σε διαφορετικές διευθύνσεις. Η συνολική εξωτερική ώθηση είναι αμελητέα.
Από την Α.Δ.Ο. έχουμε v₁ = v₁′ + v₂′, ενώ από τη διατήρηση κινητικής ενέργειας v₁² = v₁′² + v₂′². Άρα, όταν και οι δύο τελικές ταχύτητες είναι μη μηδενικές, οι διευθύνσεις τους είναι κάθετες: α + β = 90°.
Εφαρμογή: m₁ = m₂, v₁ = υ, v₂ = 0, α = 60°.
Ιδανικό ελατήριο αμελητέας μάζας, με το δεξί άκρο στερεωμένο στο m₂ και λεπτή αβαρή πλάκα στο αριστερό. Το m₁ προσπίπτει στην πλάκα χωρίς να προσδένεται. Το δάπεδο είναι λείο και το m₂ αρχικά ακίνητο.
Α΄ φάση: ΠΡΙΝ → ΜΕΤΑ · συμπίεσηΗ ορμή του συστήματος διατηρείται σε όλη τη διάρκεια: οι δυνάμεις του αβαρούς ελατηρίου στα σώματα είναι κάθε στιγμή αντίθετες και η συνολική εξωτερική δύναμη στον οριζόντιο άξονα είναι μηδενική. Στη μέγιστη συμπίεση τα σώματα έχουν κοινή στιγμιαία ταχύτητα, όπως στην πλαστική κρούση, αλλά δεν ενώνονται: μέρος της αρχικής κινητικής ενέργειας έχει αποθηκευτεί στο ελατήριο. Στη δεύτερη φάση η ταχύτητα του m₂ αυξάνεται και του m₁ μειώνεται, καθώς το ελατήριο επιστρέφει την αποθηκευμένη ενέργεια ως κινητική. Όταν ανακτήσει το φυσικό μήκος του, η επαφή του m₁ με την πλάκα παύει. Για m₁ > m₂ κινούνται και τα δύο δεξιά. Συνολικά, από αρχή σε τέλος, η αλληλεπίδραση ισοδυναμεί με κεντρική ελαστική κρούση με αρχικά ακίνητο m₂.
Εφαρμογή: m₁ = 3m₂, v₁ = υ, v₂ = 0. Να βρεθούν η κοινή ταχύτητα στη μέγιστη συμπίεση, οι τελικές ταχύτητες και η μέγιστη ενέργεια που αποθηκεύεται στο ελατήριο.
Με αμελητέα συνολική εξωτερική ώθηση, η συνολική ορμή είναι μηδενική πριν και μετά. Μετά τον χωρισμό, οι ορμές των δύο κομματιών είναι αντίθετες: ίσα μέτρα και αντίθετες φορές.
Εφαρμογή: αρχικά ακίνητο σώμα χωρίζεται σε δύο κομμάτια με m₂ = 3m₁. Να βρεθεί η σχέση των μέτρων των ταχυτήτων τους μετά τον χωρισμό.
Όταν η απώλεια μηχανικής ενέργειας αποδίδεται ως θερμότητα και δεν υπάρχει άλλη ανταλλαγή ενέργειας. Στην κρούση, αν Uπριν = Uμετά: Q = Kολ,πριν − Kολ,μετά.
Τι εννοούμε αναλυτικά: στις ασκήσεις κρούσεων γράφουμε σύντομα «θερμότητα Q». Η κινητική ενέργεια που χάνεται μετατρέπεται σε εσωτερική ενέργεια των σωμάτων, με θέρμανση, παραμόρφωση κ.ά. Η συνολική ενέργεια διατηρείται.
Εφαρμογή: Kολ,πριν = K₀, Kολ,μετά = 3K₀/4· μετά την κρούση, |WΤ| = K₀/4.
Εφαρμογή: πλαστική κρούση, m₂ = 3m₁, v₁ = υ, v₂ = 0.
Εφαρμογή: κεντρική ελαστική κρούση, m₁ = 3m₂, v₁ = υ, v₂ = 0.
Πάντα τελική μείον αρχική ορμή. Στην ίδια ευθεία βάζουμε πρόσημα στις ταχύτητες.
Έχει την κατεύθυνση της Δp. Η πραγματική δύναμη μεταβάλλεται· η μέση δύναμη προκαλεί την ίδια μεταβολή ορμής στον ίδιο χρόνο. Η ώθηση αναφέρεται στην επίδραση μιας δύναμης κατά το χρονικό διάστημα που ασκείται. Όταν οι άλλες δυνάμεις έχουν αμελητέα ώθηση, είναι και η μέση δύναμη κρούσης.
Δες τους ρυθμούς · ορισμός ↓Εφαρμογή: μάζα m, v = υ, v′ = υ/2, και οι δύο προς τα δεξιά, Δt = τ.
Εφαρμογή: μάζα m, αρχικό μέτρο ταχύτητας υ προς τον τοίχο, ελαστική ανάκλαση, Δt = τ.
Προϋπόθεση: λείος τοίχος και αμελητέες άλλες ωθήσεις. Ο παραπάνω τύπος του μέτρου της Δp αφορά ελαστική ανάκλαση.
Εφαρμογή: μάζα m, αρχικό μέτρο ταχύτητας υ, ημθ = 0,6, συνθ = 0,8 (θ με την κάθετο), Δt = τ.
Εφαρμογή: μάζα m, αρχικό μέτρο ταχύτητας v = 3υ προς τα δεξιά, τελικό μέτρο v′ = 4υ προς τα πάνω, Δt = τ.
Όταν λέμε απλώς «ρυθμός μεταβολής του Α», εννοούμε τον στιγμιαίο ρυθμό: πόσο γρήγορα μεταβάλλεται το Α εκείνη τη στιγμή. Μονόμετρο Α: το πρόσημο του ρυθμού δείχνει αν αυξάνεται ή μειώνεται. Διανυσματικό Α: ο ρυθμός είναι διάνυσμα και περιγράφει τη μεταβολή του μέτρου ή/και της κατεύθυνσής του· σε μία διάσταση δουλεύουμε με αλγεβρικές τιμές.
Δt = χρονική διάρκεια του διαστήματος · στον αριθμητή πάντα τελική − αρχική τιμή.
Σχηματική ημικυκλική καμπύλη, με διαφορετικές κλίμακες στους άξονες. Χρόνοι: 0 < t′ < t₁ < t″ < t₂.
Το Α δεν μεταβάλλεται γραμμικά: η κλίση της εφαπτομένης αλλάζει, άρα dA/dt = b(t).
Σε κάθε επιλεγμένο Δt: ΔΑ/Δt = bμέση = B, ο σταθερός ρυθμός που θα έδινε την ίδια ΔΑ στην ίδια διάρκεια.
Όταν το Α μεταβάλλεται γραμμικά, το b έχει την ίδια τιμή Β σε κάθε στιγμή του τμήματος:
Τα Β₁, Β₂ είναι συγχρόνως οι μέσοι ρυθμοί της γκρι καμπύλης στα ίδια διαστήματα. Στη γωνία των μπλε τμημάτων (t₁) δεν ορίζεται στιγμιαίος ρυθμός· το b(t₁) = 0 αφορά τη γκρι καμπύλη.
Οι γωνίες μετρώνται από τη θετική κατεύθυνση του άξονα t προς την αντίστοιχη ευθεία, αντιωρολογιακά. Οι φ′, φ₁ είναι οξείες (θετική κλίση), ενώ οι φ″, φ₂ αμβλείες (αρνητική κλίση).
Στη συνήθη γραφή «εφαπτομένη γωνίας = κλίση», με τις κλίμακες των αξόνων ενσωματωμένες:
Τα Β₁, Β₂ είναι οι σταθεροί ρυθμοί των μπλε τμημάτων και οι μέσοι ρυθμοί της γκρι καμπύλης στα αντίστοιχα διαστήματα.
Ακρίβεια για τις κλίμακες: η εφαπτομένη μιας γεωμετρικής γωνίας είναι αδιάστατη. Αν sA, st είναι οι μονάδες Α και χρόνου ανά ίσο μήκος στους άξονες, τότε ο φυσικός ρυθμός είναι (sA/st)·εφ φ. Οι παραπάνω ισότητες εκφράζουν τη συμβατική γραφή της κλίσης με αυτή τη μετατροπή ενσωματωμένη· δεν μετράμε τη σχεδιασμένη γωνία για να βρούμε αριθμητικά τον ρυθμό.
Για διανυσματικό μέγεθος αφαιρούμε διανύσματα ή τις ομόλογες αλγεβρικές συνιστώσες τους.
| Ρυθμός μεταβολής · μονάδα | Στιγμιαίος ρυθμός | Μέσος ρυθμός στο Δt |
|---|---|---|
| Ορμής σώματος · N | dp/dt = ΣF | Δp/Δt = ΣFμέση |
| Ορμής συστήματος · N | dpολ/dt = ΣFεξ | Δpολ/Δt = ΣFεξ, μέση |
| Ορμών των δύο σωμάτων κατά την κρούση · N (αμελητέα εξωτερική δύναμη / ώθηση) | dp1/dt = −dp2/dt | Δp1/Δt = −Δp2/Δt |
| Κινητικής ενέργειας σώματος · W | dK/dt = ΣF·v | ΔK/Δt = WΣF/Δt = Pμέση |
| Κινητικής ενέργειας συστήματος · W | dKολ/dt = Pολ | ΔKολ/Δt = Wολ/Δt = Pολ, μέση στην κρούση (U ίδια): ΔKολ/Δt = −Q/Δt < 0 |
Εφαρμογή: πλαστική κρούση, m₁ = m, m₂ = 3m, v₁ = υ, v₂ = 0, Δt = τ· αμελητέα συνολική εξωτερική ώθηση.
| Ρυθμός μεταβολής · μονάδα | Στιγμιαίος ρυθμός | Τι σημαίνει / πώς το χρησιμοποιώ |
|---|---|---|
| Ρυθμός μεταβολής ορμής σώματος · N | dpdt = ΣF | Κλίση διαγράμματος p–t = ΣF · εμβαδόν διαγράμματος F–t = Δp. |
| Ρυθμός μεταβολής ορμής συστήματος · N | dpολdt = ΣFεξ | Μονωμένο σύστημα ⇒ dpολ/dt = 0 ⇒ Α.Δ.Ο. |
| Ρυθμοί μεταβολής ορμών κατά την κρούση · N | dp1dt = −dp2dt | Δράση–αντίδραση. Η ισότητα των στιγμιαίων ρυθμών ισχύει όταν η συνολική εξωτερική δύναμη είναι μηδενική ή αμελητέα κάθε στιγμή. Η αμελητέα συνολική εξωτερική ώθηση αρκεί για Δp₁ = −Δp₂ στο διάστημα της κρούσης. |
| Ρυθμός μεταβολής κινητικής ενέργειας · W | dKdt = ΣF·v | Ισχύς της συνισταμένης (Θ.Μ.Κ.Ε. ανά μονάδα χρόνου). |
Εφαρμογή: σε δεδομένη στιγμή, ΣFₓ = F₀ και vₓ = 2υ, με F₀ και υ θετικά.